Eksistens af ligevægt.
Sidste gang beviste vi et resultat (prop 17.C.2) om eksistens af ligevægt. Det var centralt at benytte Brouwers fikspunktssætning. Vi definerede således en kontinuert afbildning fra en kompakt, konveks mængde af priser ind i mængden selv. For at vores afbildning skulle kunne være veldefineret på randen og kontinuert, havde vi antaget at den aggrerede overskudsefterspørgsel var veldefineret for ALLE ikke-negative prisvektorer (undtaget nulvektoren).
I de fleste eksempler på præferencer vi har set, har forbrugerne ikke nogen veldefineret efterspørgsel så snart en eller varer er gratis. Dermed bliver den aggregerede overskudsefterspørgsel heller ikke veldefineret. Vi kunne søge at bibeholde vores definition af afbildningen på det område af prismængden hvor den er veldefineret (fordi alle priser er positive). Måske kunne den så udvides til randen (hvor en eller flere priser er nul), så udvidelsen blev en kontinuert funktion. Men når vi nærmer os randen går den aggregerede overskudsefterspørgsel efter en eller flere varer imod uendelig (se prop 17.B.2 del (v)), og dette skaber vanskeligheder.
I beviset for proposition 17.C.1 vil vi komme uden om disse vanskeligheder ved at lade afbildningen være en korrespondance i stedet for en funktion. Denne afbildning kan udvides til randen så udvidelsen er opad hemikontinuert. Idet korrespondancen har konvekse værdier kan vi så benytte Kakutanis fikspunktssætning (M.I.2) i stedet for Brouwers til at få eksistensbeviset fuldendt.
Før forelæsningen:
Efter forelæsningen: